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La mia attività di ricerca si divide, essenzialmente, in quattro parti:
Teoria Analitica dei Numeri
La mia ricerca verte principalmente su problemi additivi, cioè sul conteggio delle rappresentazioni di un intero n come somma di elementi che appartengono a opportuni sottoinsiemi dei numeri naturali. Un esempio classico è la congettura (binaria) di Goldbach, tuttora aperta, secondo cui ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due primi. Mi sono focalizzato sullo studio di ``formule esplicite'' per medie (eventualmente pesate) di funzioni di rappresentazione, in particolare in problemi con numeri primi. Per ``formula esplicita'' intendo identità o asintotiche che collegano quantità legate alla distribuzione di primi e potenze di primi agli zeri (non banali) della funzione zeta di Riemann e, più in generale, delle L-funzioni di Dirichlet.
Forme chiuse di serie tipo ipergeometrico
Il mio principale interesse scientifico è lo studio di forme chiuse per serie di tipo ipergeometrico, in particolare serie costruite a partire da potenze dei coefficienti binomiali centrali. Per ``forme chiuse'' intendo identità esatte che esprimono tali serie in termini di costanti e funzioni speciali note. L'importanza di ottenere identità esatte, invece di sole approssimazioni numeriche, è legata al fatto che, in questo modo, si ha la possibilità di mettere in evidenza strutture e legami che potrebbero essere non evidenti. Gli strumenti che ho maggiormente utilizzato sono le espansioni di Fourier-Legendre e Fourier-Jacobi (in polinomi di Legendre e Jacobi), che consentono di trattare in modo efficace alcune funzioni ipergeometriche e di collegarle a funzioni speciali classiche, in particolare agli integrali ellittici completi del primo e del secondo tipo.
Approssimazione tramite operatori di tipo sampling e operatori di tipo rete neurale
In teoria dell'approssimazione il mio interesse verte sullo studio di operatori di ricostruzione/approssimazione di tipo sampling e di tipo rete neurale. Nel primo caso considero generalizzazioni degli operatori legati al teorema di campionamento di Shannon, con particolare attenzione alle serie di sampling generalizzate e agli operatori di sampling di tipo Kantorovich, in cui la ricostruzione utilizza medie integrali al posto di valutazioni puntuali nei nodi. Nel secondo caso studio operatori connessi ai modelli di reti neurali artificiali, intesi come schemi di approssimazione generati da architetture e funzioni di attivazione. Per entrambe le classi mi occupo di problemi di convergenza in diversi spazi funzionali (ad es. funzioni in L^p, in Sobolev classico e frazionario, regolari e contesti affini), di ordini di approssimazione, nonché di fenomeni di saturazione e di teoremi inversi.
Esistenza di travelling wave solutions per problemi di reazione-diffusione-convezione
La mia ricerca verte sullo studio dell'esistenza di travelling wave solutions (TWS) per equazioni di tipo reazione-diffusione-convezione, cioè problemi parabolici che descrivono fenomeni di propagazione e trasporto in ambito fisico e biologico. In particolare, considero soluzioni di tipo TWS e studio per quali velocità c tali soluzioni esistano. A seconda della struttura del problema (ad esempio termini convettivi e non linearità di reazione), si ottengono condizioni di esistenza o non-esistenza e, spesso, la presenza di una soglia/velocità critica: si individuano intervalli ammessi per c e si derivano stime quantitative sui valori (o sulla soglia) che garantiscono l'esistenza di TWS.
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